ਅਨੰਤ ਸਰੋਤ : ਪੰਜਾਬੀ ਸਭਿਆਚਾਰ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਕੋਸ਼, ਪਬਲੀਕੇਸ਼ਨ ਬਿਊਰੋ, ਪੰਜਾਬੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ, ਪਟਿਆਲਾ।

ਅਨੰਤ ( ਨਾਂ , ਪੁ ) ਸੱਜੀ ਬਾਂਹ ’ ਤੇ ਪਾਉਣ ਵਾਲਾ ਬਾਰਾਂ ਗੰਢਾਂ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਦਾ ਗਹਿਣਾ


ਲੇਖਕ : ਕਿਰਪਾਲ ਕਜ਼ਾਕ (ਪ੍ਰੋ.),
ਸਰੋਤ : ਪੰਜਾਬੀ ਸਭਿਆਚਾਰ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਕੋਸ਼, ਪਬਲੀਕੇਸ਼ਨ ਬਿਊਰੋ, ਪੰਜਾਬੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ, ਪਟਿਆਲਾ।, ਹੁਣ ਤੱਕ ਵੇਖਿਆ ਗਿਆ : 2533, ਪੰਜਾਬੀ ਪੀਡੀਆ ਤੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਤ ਮਿਤੀ : 2014-01-24, ਹਵਾਲੇ/ਟਿੱਪਣੀਆਂ: no

ਅਨੰਤ ਸਰੋਤ : ਗੁਰੁਸ਼ਬਦ ਰਤਨਾਕਾਰ ਮਹਾਨ ਕੋਸ਼, ਪਬਲੀਕੇਸ਼ਨ ਬਿਊਰੋ, ਪੰਜਾਬੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ, ਪਟਿਆਲਾ।

ਅਨੰਤ. ਵਿ— ਬਿਨਾ ਅੰਤ. ਬੇਅੰਤ. ਅਨੇਕ. ਨਾਨਾ. “ ਇਕਸੁ ਤੇ ਹੋਇਓ ਅਨੰਤਾ.” ( ਮਾਝ ਅ : ਮ : ੫ ) ੨ ਸੰਗ੍ਯਾ— ਕਰਤਾਰ. ਵਾਹਗੁਰੂ । ੩ ਆਕਾਸ਼ । ੪ ਸ਼ੇ੄ਨਾਗ । ੫ ਬਲਭਦ੍ਰ. ਇਹ ਸ਼ੇ੄ ਦਾ ਅਵਤਾਰ ਮੰਨਿਆ ਹੈ , ਇਸ ਲਈ ਨਾਂਉ ਅਨੰਤ ਹੈ. “ ਅਨੰਤ ਕੇ ਊਪਰ ਕੋਪ ਚਲਾਯੋ.” ( ਕ੍ਰਿਸਨਾਵ ) ੬ ਭੁਜਾ ਉੱਪਰ ਪਹਿਰਣ ਦਾ ਇੱਕ ਗਹਿਣਾ , ਜਿਸ ਨੂੰ ਸ਼ੇ੄ਨਾਗ ਦੀ ਮੂਰਤੀ ਕਲਪਕੇ ਹਿੰਦੂ ਭਾਦੋਂ ਸੁਦੀ ੧੪ ਨੂੰ ਪਹਿਰਦੇ ਹਨ. ਦੇਖੋ , ਅਨੰਤ ਚੌਦੇ.


ਲੇਖਕ : ਭਾਈ ਕਾਨ੍ਹ ਸਿੰਘ ਨਾਭਾ,
ਸਰੋਤ : ਗੁਰੁਸ਼ਬਦ ਰਤਨਾਕਾਰ ਮਹਾਨ ਕੋਸ਼, ਪਬਲੀਕੇਸ਼ਨ ਬਿਊਰੋ, ਪੰਜਾਬੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ, ਪਟਿਆਲਾ।, ਹੁਣ ਤੱਕ ਵੇਖਿਆ ਗਿਆ : 2453, ਪੰਜਾਬੀ ਪੀਡੀਆ ਤੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਤ ਮਿਤੀ : 2014-08-05, ਹਵਾਲੇ/ਟਿੱਪਣੀਆਂ: no

ਅਨੰਤ ਸਰੋਤ : ਪੰਜਾਬੀ ਵਿਸ਼ਵ ਕੋਸ਼–ਜਿਲਦ ਪਹਿਲੀ, ਭਾਸ਼ਾ ਵਿਭਾਗ ਪੰਜਾਬ

ਅਨੰਤ ( Infinity ) : ਇਨਫ਼ਿਨਿਟੀ ਸ਼ਬਦ ਲਾਤੀਨੀ ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ‘ ਇਨ’ ( ਅਨ ) ਅਤੇ ‘ ਫ਼ਿਨਿਸ’ ( ਅੰਤ ) ਦੀ ਸੰਧੀ ਹੈ । ਇਹ ਸ਼ਬਦ ਉਨ੍ਹਾਂ ਰਕਮਾਂ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਮਿਣਤੀ ਸੀਮਤ ਨਹੀਂ । ਮਿਸਾਲ ਲਈ ਅਸੀਮ ਸਰਲ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਨੰਤ ਹੈ ।

                  ਗਣਿਤ ਵਿਚ ‘ ਅਨੰਤ’ ਨੂੰ ∞ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ । ਅਨੰਤ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ :

                  ਫਰਜ਼ ਕਰੋ ਕਿ x ਕੋਈ ਚੱਲ ( variable ) ਹੈ ਅਤੇ f ( x ) ਇਸ ਦਾ ਕੋਈ ਫਲਨ ( function ) ਹੈ । ਜੇ x ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ a ਵੱਲ ਵਧੇ ਤਦ f ( x ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੱਧਦਾ ਹੀ ਚਲਿਆ ਜਾਏਗਾ ਕਿ ਉਹ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਹਰ ਸੰਖਿਆ G ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਏ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੀ ਰਹੇ , ਚਾਹੇ G ਕਿੰਨਾ ਹੀ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ । ਸੋ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ x→ a ਲਈ f ( x ) ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਨੰਤ ਹੈ । ਜੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ‘ a’ ਦੇ ਨੇੜੇ ਲਿਜਾਉਣ ਨਾਲ f ( x ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੱਧਦਾ ਚਲਾ ਜਾਵੇ ਕਿ ਇਹ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸੰਖਿਆ G ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਰਹੇ , ਚਾਹੇ G ਕਿੰਨਾ ਹੀ ਵੱਡਾ ਕਿਉਂ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ x ਨੂੰ ‘ a’ ਤਕ ਲਿਜਾਉਣ ਲਈ ( x→ a ) , f ( x ) ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਨੰਤ ( ∞ ) ਹੈ ।

                  ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਪਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਭਿੰਨ a/b ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ b ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਗੁਣਨਫਲ a ਪਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ । ਜੇ a , b ਵਿਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ( zero ) ਨਹੀਂ ਤਾਂ a/b ਇਕ ਅਜੇਹੀ ਰਕਮ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕੋਈ ਦੂਜੀ ਰਕਮ ਨਹੀਂ । ਇਸ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ o/b ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਦਾ ਬਰਾਬਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ , ਚਾਹੇ b ਕੋਈ ਵੀ ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ( finite number ) ਹੋਵੇ । ਇਸ ਨੂੰ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ( rational numbers ) ਦੀ ਸਿਫਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਾਰਡੀਨਲ ( cardinal number ) ਸੰਖਿਆ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਇਸ ਦੇ ਉਲਟ b/o ਇਕ ਅਰਥਹੀਨ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਨੰਤ ਸਮਝਣਾ ਭੁੱਲ ਹੈ । ਜੇ a/b ਵਿਚ a ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ , b ਘਟਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ a , b ਦੋਵੇਂ ਧਨ ( positive ) ਹਨ ਤਾਂ a/b ਦੀ ਕੀਮਤ ਵੱਧਦੀ ਜਾਵੇਗੀ । ਜੇ b ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਵਲ ਨੂੰ ਸਰਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅੰਤ ਵਿਚ a/b ਹਰ ਵੱਡੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਜਾਵੇਗਾ । ਇਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :

ਇਸ ਸਿੱਟੇ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੇ ਅਵਿਗਿਆਨਕ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ

                  ਜਾਰਜ ਕੈਂਟਰ ( George Cantor ; 1845-1918 ) ਨੇ ਅਨੰਤ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇਕ ਹੋਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਾਇਆ ਹੈ । ਕੈਂਟਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ , ਜੋ ਟ੍ਰਾਂਸਫ਼ਿਨਿਟ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ( transfinite numbers ) ਵੀ ਆਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ , ਜੁਮੈਟਰੀ ( Geometry ) ਤੇ ਸੀਮਾ-ਸਿਧਾਂਤ ( Limit theorem ) ਵਿਚ ਅਨੰਤ ਦੀ ਪ੍ਰਚਲਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰੀ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਹਨ । ਕੈਂਟਰ ਨੇ ਛੋਟੀ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਟ੍ਰਾਂਸਫ਼ਿਨਿਟ ਕਾਰਡੀਨਲ ਸੰਖਿਆ ( transfinite cardinal number ) A­ o ( ਅਕਾਰ ਸਿਫ਼ਰ , ਅਲਫ਼-ਜ਼ੀਰੋ ) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 1 , 2 , 3 ....ਦੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਕਾਰਡੀਨਲ ਨੰਬਰਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਹੈ । ਇਹ ਸਾਬਤ ਹੋ ਚੁੱਕਾ ਹੈ ਕਿ A o + n = A o ਜਿਸ ਵਿਚ n ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ( definite ) ਪੂਰਨ ਅੰਕ ( integral number ) ਹੈ । ਕੈਂਟਰ ਨੇ ਸਿਰਫ਼ A o ਦੇ ਹੀ ਨਹੀਂ , ਸਗੋਂ ਕਈ ਐਲਫ਼ਾ ਸੰਖਿਆਵਾਂ A o , A 1 , … … ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਵੀ ਵਿਕਾਸ ਕੀਤਾ ਹੈ । ਹਾਰਡੀ ( Hardy ) ਨੇ ਕਾਰਡੀਨਲ ਸੰਖਿਆ A 1 ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸਿਆ ਹੈ । ਸੰਖਿਆ M ( = < A o ) ਕਾਂਟੀਨੀਊਮ ( continuum ) ਦੀ ਅਰਥਾਤ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦੀ ਕਾਰਡੀਨਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ । ਇਕ ਤੋਂ ਇਕ ਸੰਗਤੀ ( one to one correspondence ) ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ( 0 , 1 ) ਇੰਟਰਵਲ ਵਿਚ ਵੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦੀ ਕਾਰਡੀਨਲ ਸੰਖਿਆ M ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।

                  ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ , 1 , 2 , 3 , … ..ਦੇ ਸੈੱਟ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਟ੍ਰਾਂਸਫ਼ਿਨਿਟ ਆਰਡੀਨਲ ਸੰਖਿਆ ( transfinite ordinal number ) ਨੂੰ 𝛚 ( omega ) ਲਿਖਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਟ੍ਰਾਂਸਫ਼ਿਨਿਟ ਆਰਡੀਨਲ ਸੰਖਿਆ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ । ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਇੰਟਰਵਲ ( a , b ) ਵਿਚ p 1 , p 2 , P 3 , … … .ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਇਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ( sequence ) ਉਤੇ ਜੋ ਵੱਧਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b 1 , b 2 , b 3 , ਦੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ , ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ :

                  ਇਸ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕੋਈ ਸੀਮਾ-ਬਿੰਦੂ ( limiting point ) ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੋਵੇਗਾ , ਇਸ ਨੂੰ ਅਸੀ b 𝛚 ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ । ਫਰਜ਼ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ b 𝛚 ਦੇ ਉਪਰੰਤ ਕਈ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਅਜਿਹੇ ਵੀ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ b 1 … … , b 2 … … , b n … .. , b 𝛚 . ਵਾਲੇ ਸੈੱਟ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਮੰਨਾਂਗੇ । ਫਿਰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ b 𝛚 + 1 , b 𝛚 + 2 , … . ਰਾਹੀਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਾਂਗੇ । ਜੇ b 𝛚 , b 𝛚 + 1 , b 𝛚 + 2 , … ਨਾਂ ਵਾਲਿਆਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਕੋਈ ਅੰਤਮ ਬਿੰਦੂ ਨਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇਹ ਸਭ ( a , b ) ਦੇ ਇੰਟਰਵਲ ਅੰਦਰ ਸਥਿਤ ਹੋਣ ਤਾਂ ਇਹ ਸੈੱਟ ਦਾ ਜੋ ਸੀਮਾ-ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇਗਾ ਉਸ ਨੂੰ ਅਸੀਂ b 𝛚 2 ਦੁਆਰਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ , ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ( ordinal numbers )   1 , 2 , 3 , … . 𝛚 , 𝛚 + 1 , 𝛚 + 2 ,   … . 𝛚 2 , 𝛚 2 + 1… . , 𝛚 3 . , 𝛚 2 2 … … ਪਰਪਾਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।

                  ਗਣਿਤ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿਚ ਅਸੀਂ ਕਈ ਵਾਰ ਅਨੰਤ ਵਲ ਵੱਧਣ ਵਾਲੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ । ਲੰਡਾਊ ( Landau ) ਨੇ O , o , ~ ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਸੰਕੇਤ-ਲਿਪੀ ਪ੍ਰਚਲਤ ਕੀਤੀ ਹੈ , ਜਿਸ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਇਉਂ ਹੈ; ਜੇ f ( x ) ਅਤੇ 𝛟 ( x ) ਧਨਾਤਮਕ ( positive ) ਹੋਣ ਅਤੇ ਜੇ ਹਰ ਇਕ x> x o ਲਈ f ( x ) /𝛟 ( x ) ਇਕ ਸਥਿਰ ਰਾਸ਼ੀ 1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ x ਦੇ ਅਨੰਤ ਵਲ ਵੱਧਣ ਤੇ f ( x ) = O {𝛟 ( x ) } ਹੁੰਦਾ ਹੈ । ਜੇ ਹਰ ਇਕ x> x o ਲਈ f ( x ) /𝛟 ( x ) < ε ਹੋਵੇ , ਜਿਸ ਵਿਚ ε ਕੋਈ ਮੰਨੀ ਹੋਈ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ , ਤਾਂ x ਦੇ ਅਨੰਤ ਵਲ ਅੱਗੇ ਵੱਧਣ ਤੇ f ( x ) = o{𝛟 ( x ) } ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇ x ਦੇ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਅੱਗੇ ਵੱਧਣ ਤੇ f ( x ) /𝛟 ( x ) = 1 ਅਥਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ f ( x ) ~ 𝛟 ( x ) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ । ਇਸ ਲਈ ਜਦ n→ ∞ ਤਾਂ n 2 + 20 n + 1000~n 2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ । ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਦੋਵੇਂ ਲੜੀਆਂ ਅਨੰਤ ਵਲ ਅੱਗੇ ਵੱਧਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇਹ ਵਾਧਾ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ।

                  ਪਾਲ-ਦੁ ਬੋਇਸ , ਰੀਮਾਨ ( Riemann ) ਅਤੇ ਜੀ. ਐਚ. ਹਾਰਡੀ ਨੇ ਫਲਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਵਿਚ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੰਤ ਦੇ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ( scales of infinity ) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਹੈ ।

 


ਲੇਖਕ : ਭਾਸ਼ਾ ਵਿਭਾਗ,
ਸਰੋਤ : ਪੰਜਾਬੀ ਵਿਸ਼ਵ ਕੋਸ਼–ਜਿਲਦ ਪਹਿਲੀ, ਭਾਸ਼ਾ ਵਿਭਾਗ ਪੰਜਾਬ, ਹੁਣ ਤੱਕ ਵੇਖਿਆ ਗਿਆ : 656, ਪੰਜਾਬੀ ਪੀਡੀਆ ਤੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਤ ਮਿਤੀ : 2015-07-16, ਹਵਾਲੇ/ਟਿੱਪਣੀਆਂ: no

ਵਿਚਾਰ / ਸੁਝਾਅ



Please Login First


    © 2017 ਪੰਜਾਬੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ,ਪਟਿਆਲਾ.